Jean-François-Henri Rivoire naît le 24 janvier 1821 à Genève. Après de brillantes études, desquelles il ressort avec une licence en droit en 1846, il débute une formation d'avocat, puis se présente au concours de notariat. Avant d'entamer sa carrière de notaire en 1857, qui durera 40 ans, il est nommé conservateur du cadastre en 1854. Ancien président central de Zofingue et fondateur de la section genevoise, il a également été membre fondateur et premier président de la section de gymnastique "Genève-Ville" de la société zofingienne.
A côté de son activité de notaire et de sa carrière politique, Jean Rivoire exerce la fonction de juge à la Cour de cassation de 1859 à 1861, puis de 1872 à 1884. Il en sera président en 1880.
C'est en 1854 que débute la carrière politique de Jean Rivoire. Il devient conseiller municipal à Plainpalais avant de siéger au Grand Conseil de 1862 à 1866. Il est également membre de la Constituante en 1864 et défend une politique inspirée de l'ancien parti indépendant (conservateur - protestant).
Il entre le 10 janvier 1869 au Conseil municipal de la Ville de Genève où il siégera jusqu'en 1886. Toujours réélu en tête de liste et vivement apprécié de tous ses collègues, il arrive sans surprise à la fonction de conseiller administratif en 1874, et le restera jusqu'en 1882. Durant cette période, il a l'occasion de présider l'exécutif de la Ville à maintes reprises et de s'occuper, notamment, de la direction des écoles et des musées.
Jean Rivoire est décrit par ses contemporains comme un administrateur sage et prudent qui a tenu un rôle très en vue en Ville de Genève. Doté d'une mémoire prodigieuse, on le consulte sur des affaires remontant aux premières années du siècle qui l'a vu naître. Esprit équitable, pondéré et consciencieux, ses idées mûrement réfléchies sont souvent suivies. Il attache une importance particulière aux questions touchant à l'instruction publique et a d'ailleurs été membre de la "Société pour le progrès et les études".
Sa vie politique a principalement été marquée par l'intérêt porté à la réforme du système électoral. Jean Rivoire fut l'un des premiers, si ce n'est le premier, à défendre le principe de la représentation proportionnelle. Il voit ce principe s'appliquer en 1892 lors de l'élection du Grand Conseil genevois, puis être reconnu par le peuple genevois à l'inverse de la majorité des suisses qui rejettent l'initiative populaire pour l'élection du Conseil national au système proportionnel.
En 1897, il met un terme à sa carrière de notaire. C'est son fils Jean-Etienne-Emile, avec qui il a travaillé de nombreuses années, qui reprend les rênes de l'étude. Jean-François-Henri Rivoire décède le 20 juin 1906 et Genève perd alors, selon les termes usités par la Tribune de Genève, "un bon et fidèle serviteur".
